从电磁波到引力波-0.2

二阶常微分方程

考虑任意满足以下形式的方程：

$$\begin{array}{r}\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}g(x)+p(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)+q(x)=f(x)\end{array}$$

其中 $p(x),q(x)$ 依次满足定义域内一阶可导与二阶可导，由此便是一个二阶常微分方程问题，一般而言可以根据物理问题区分为边界问题与初值问题。

边界问题

对于边界问题，考虑满足 $f(x;\xi )=\delta (x-\xi )$ 时的方程解：格林函数 $G(x;\xi )$ ，以及对应边界 $(a,b)$ ， $G(a,\xi )=E,G(b,\xi )=F$ ，根据上一节，可以考虑一组解：

$$\begin{array}{rl}G(x;\xi )& =\{\begin{array}{c}{G}_{<}(x;\xi )=A(\xi )y_1+B(\xi )y_2;a<x<\xi \\ \\ G_{>}(x;\xi )=C(\xi )y_1+D(\xi )y_2;\xi <x<b\end{array}\\ \\ & =G_{<}-(G_{<}-G_{>})H(x-\xi )\end{array}$$

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