从电磁辐射到引力波-2-1

准备

时空由度规 $g_{\mu \nu }$ 描述，对时空进行扰动有： $g_{\mu \nu }={\overline{g}}_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }+{\mathcal{O}}^2$ ，其中 ${\overline{g}}_{\mu \nu }$ 为背景时空， 略去高阶项，仅考虑一阶项 $h_{\mu \nu }$ 即为线性微扰，我们只考虑线性微扰。注意，度规的零阶项、高阶项度规也应该具有同样的对称性，即 $h_{(\mu \nu )}$ 。

此后，假设： $g^{\mu \nu }={\overline{g}}^{\mu \nu }+A^{\mu \nu }$ ，由于： $g_{\mu \nu }{g}^{\nu n}={\delta }_{\mu }^n$ ，可以得到： ${\overline{g}}^{\nu n}\overline{g_{\mu \nu }}+h_{\mu \nu }{\overline{g}}^{\nu n}+A^{\nu n}\overline{g_{\mu \nu }}+{\mathcal{O}}^2={\delta }_{\mu }^n$ ，略去二阶项则有： $A^{\nu n}{\overline{g}}_{\mu \nu }{\overline{g}}^{\mu m}=-h_{\mu \nu }{\overline{g}}^{\nu n}{\overline{g}}^{\mu m}$ ，由此可得： $A^{\mu \nu }=-h^{\mu \nu }$ ，即： $g^{\mu \nu }={\overline{g}}^{\mu \nu }-h^{\mu \nu }$ 。现在便可以计算场方程的线性近似了。

Christoffe symbol

首先考虑的是 Christoffe 符号，与度规适配 $(g_{\mu \nu },{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho })$ 即有表达式：

$${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }=\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }(g_{\sigma \nu ,\mu }+g_{\mu \sigma ,\nu }-g_{\mu \nu ,\sigma })$$

所谓适配便是: ${\mathrm{\nabla }}_{\rho }{g}_{\mu \nu }=0$ ; 线性微扰展开当然有： ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }={\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\rho }+\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }+\mathcal{O}({\delta }^2{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho })$ ，下面给出各项表达式:

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }& =\frac{1}{2}({\overline{g}}^{\rho \sigma }-h^{\rho \sigma }+\mathcal{O}(h^2))[{\overline{g}}_{\sigma \nu ,\mu }+h_{\sigma \nu ,\mu }+\mathcal{O}(h^2{)}_{,\mu }+{\overline{g}}_{\mu \sigma ,\nu }+h_{\mu \sigma ,\nu }+\mathcal{O}(h^2{)}_{,\nu }-{\overline{g}}_{\mu \nu ,\sigma }+h_{\mu \nu ,\sigma }+\mathcal{O}(h^2{)}_{,\sigma }]\\ & =\frac{1}{2}{\overline{g}}^{\rho \sigma }({\overline{g}}_{\sigma \nu ,\mu }+{\overline{g}}_{\mu \sigma ,\nu }-{\overline{g}}_{\mu \nu ,\sigma })+\frac{1}{2}{\overline{g}}^{\rho \sigma }(h_{\sigma \nu ,\mu }+h_{\mu \sigma ,\nu }-h_{\mu \nu ,\sigma })-\frac{1}{2}{h}^{\rho \sigma }({\overline{g}}_{\sigma \nu ,\mu }+{\overline{g}}_{\mu \sigma ,\nu }-{\overline{g}}_{\mu \nu ,\sigma })+\mathcal{O}(h^2)\\ & ={\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\rho }+\frac{1}{2}{\overline{g}}^{\rho \sigma }(h_{\sigma \nu ;\mu }+h_{\mu \sigma ;\nu }-h_{\mu \nu ;\sigma }+{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma \mu }^{\tau }{h}_{\tau \nu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \mu }^{\tau }{h}_{\sigma \tau }+{\mathrm{\Gamma }}_{\sigma \nu }^{\tau }{h}_{\tau \mu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\tau }{h}_{\sigma \tau }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\tau }{h}_{\tau \nu }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \sigma }^{\tau }{h}_{\tau \nu })\\ & -\frac{1}{2}{h}^{\sigma \rho }({\overline{g}}_{\sigma \nu ;\mu }+{\overline{g}}_{\mu \sigma ;\nu }-{\overline{g}}_{\mu \nu ;\sigma }+{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\sigma \mu }^{\tau }{\overline{g}}_{\tau \nu }+{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\nu \mu }^{\tau }{\overline{g}}_{\sigma \tau }+{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\sigma \nu }^{\tau }{\overline{g}}_{\tau \mu }+{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\tau }{\overline{g}}_{\sigma \tau }-{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \sigma }^{\tau }{\overline{g}}_{\tau \nu }-{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \sigma }^{\tau }{\overline{g}}_{\tau \nu })+\mathcal{O}(h^2)\\ & ={\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\rho }+\frac{1}{2}{\overline{g}}^{\rho \sigma }(h_{\sigma \nu ;\mu }+h_{\mu \sigma ;\nu }-h_{\mu \nu ;\sigma })+{\overline{g}}^{\rho \sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\tau }{h}_{\tau \sigma }-h^{\rho \sigma }{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\tau }{\overline{g}}_{\tau \sigma }+\mathcal{O}(h^2)\end{array}$$

其中最后一个等号用到了 $({\overline{g}}_{\mu \nu }\text{,}{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\rho })$ 是适配的事实，因此： ${\overline{g}}_{\sigma \nu ;\mu }={\overline{g}}_{\mu \sigma ;\nu }={\overline{g}}_{\mu \nu ;\sigma }=0$ ，又意识到：

$$\begin{array}{rl}{\overline{g}}^{\rho \sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\tau }{h}_{\tau \sigma }& ={\overline{g}}^{\rho \sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\tau }{g}_{\tau m}{h}^{mn}{g}_{\sigma n}={\overline{g}}^{\rho \sigma }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\tau }{\overline{g}}_{\tau m}{h}^{mn}{\overline{g}}_{\sigma n}+\mathcal{O}(h^2)={\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\tau }{\overline{g}}_{\tau m}{h}^{m\rho }+\mathcal{O}(h^2)\\ & =({\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\tau }+\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\tau }){\overline{g}}_{\tau m}{h}^{m\rho }+\mathcal{O}(h^2)=h^{\rho \sigma }{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\tau }{\overline{g}}_{\tau \sigma }+\mathcal{O}(h^2)\end{array}$$

最后一步是因为 $\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }{h}^{m\rho }$ 为高阶小量（带入上面 ${\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }$ 的微扰展开便知其最少是 $h^2$ 阶项） 。因此便有：

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }& ={\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\rho }+\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }+\mathcal{O}(h^2)\\ & ={\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\rho }+\frac{1}{2}{\overline{g}}^{\rho \sigma }(h_{\sigma \nu ;\mu }+h_{\mu \sigma ;\nu }-h_{\mu \nu ;\sigma })+\mathcal{O}(h^2)\\ & ={\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\rho }+\frac{1}{2}{g}^{\rho \sigma }(h_{\sigma \nu ;\mu }+h_{\mu \sigma ;\nu }-h_{\mu \nu ;\sigma })+\mathcal{O}(h^2)\end{array}$$

关于这一结果，也可以直接对Christoffe符号进行一阶变分，同样可以直接得到 $\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }$ 对应的表达式 。

Ricci tensor and Einstein equation

现在我们可以计算里奇张量的一阶扰动，同样的：

$$\begin{array}{rl}{R}_{\mu \nu }& ={\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu ,\rho }^{\rho }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho ,\nu }^{\rho }+{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \rho }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \nu }^{\rho }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho }^{\lambda }\\ & ={\overline{R}}_{\mu \nu }+\delta R_{\mu \nu }+\mathcal{O}(h^2)\\ & ={\overline{R}}_{\mu \nu }+(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }{)}_{,\rho }-(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho }^{\rho }{)}_{,\nu }+{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\lambda \rho }^{\rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }+\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \rho }^{\rho }{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \nu }^{\lambda }-{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\lambda \nu }^{\rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho }^{\lambda }-\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \nu }^{\rho }{\overline{\mathrm{\Gamma }}}_{\mu \rho }^{\lambda }+\mathcal{O}(h^2)\\ & ={\overline{R}}_{\mu \nu }+[(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }{)}_{,\rho }+{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \rho }^{\rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho }^{\lambda }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \nu }^{\rho }-{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \rho }^{\lambda }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \mu }^{\rho }]-[(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho }^{\rho }{)}_{,\nu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \nu }^{\rho }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \rho }^{\rho }-{\mathrm{\Gamma }}_{\nu \rho }^{\lambda }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \mu }^{\rho }]+\mathcal{O}(h^2)\\ & ={\overline{R}}_{\mu \nu }+(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }{)}_{;\rho }-(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho }^{\rho }{)}_{;\nu }+\mathcal{O}(h^2)\end{array}$$

最后，由于场方程： $R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R=8\pi T_{\mu \nu }$ ，可以得到： $R_{\mu \nu }=8\pi (T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }T)$ ， 而能动张量线性微扰展开有：

$$\begin{array}{rl}{T}_{\mu \nu }& ={\overline{T}}_{\mu \nu }+\delta T_{\mu \nu }+\mathcal{O}(h^2)\\ T& =g^{\mu \nu }{T}_{\mu \nu }={\overline{g}}^{\mu \nu }{\overline{T}}_{\mu \nu }+{\overline{g}}^{\mu \nu }\delta T_{\mu \nu }-h^{\mu \nu }{\overline{T}}_{\mu \nu }+\mathcal{O}(h^2)\\ & =\overline{T}+\delta T+\mathcal{O}(h^2)\end{array}$$

于是场方程的线性展开为：

$$\begin{array}{rl}{\overline{R}}_{\mu \nu }+\delta R_{\mu \nu }+\mathcal{O}(h^2)& =8\pi ({\overline{T}}_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{\overline{g}}_{\mu \nu }\overline{T})+8\pi [\delta T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}({\overline{g}}_{\mu \nu }\delta T+h_{\mu \nu }\overline{T})]+\mathcal{O}(h^2)\\ & ={\overline{R}}_{\mu \nu }+8\pi [\delta T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}({\overline{g}}_{\mu \nu }{\overline{g}}^{\sigma \rho }\delta T_{\sigma \rho }-{\overline{g}}_{\mu \nu }{h}^{\sigma \rho }{\overline{T}}_{\sigma \rho }+h_{\mu \nu }\overline{T})]+\mathcal{O}(h^2)\end{array}$$

即线性扰动方程为：

$$\begin{array}{rl}\delta R_{\mu \nu }& =(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\rho }{)}_{;\rho }-(\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho }^{\rho }{)}_{;\nu }\\ & =8\pi [\delta T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}({\overline{g}}_{\mu \nu }{\overline{g}}^{\sigma \rho }\delta T_{\sigma \rho }-{\overline{g}}_{\mu \nu }{h}^{\sigma \rho }{\overline{T}}_{\sigma \rho }+h_{\mu \nu }\overline{T})]+\mathcal{O}(h^2)\end{array}$$

以上便构成了广义相对论当中线性微扰理论的基础，其给出的结果与一阶变分理论一致；这不仅是引力波理论的出发点，也是黑洞微扰理论、宇宙微扰理论的基础。

此外，可以发现实际上线性近似下的场方程实际上复杂度仍然很高，仍然是十个非线性二阶偏微分方程，求解起来非常困难，因此根据不同的问题还需要进行进一步针对性简化，例如在黑洞微扰理论中对微扰度规利用具有特定对称性的特殊函数进行构造，在宇宙微扰理论中采取的是球对称的FW度规作为背景，在引力波中通常采取最简单的闵氏度规为背景。

补充

1. 实际上，结合变分角度看，有： $g_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }^0+\delta g_{\mu \nu }+{\delta }^2{g}_{\mu \nu }+\dots$ ， 因此在许多文献中通常有： $h_{\mu \nu }=\delta g_{\mu \nu }$

2. 关于 $h_{\mu \nu }$ 的导数是一阶小量的证明：

   首先，对于场方程而言 $g_{ab}$ 是一个确定的解，因此 $h_{\mu \nu }\ll 1$ 也是确定的，因此其并非动态的无限性，而仅仅是一个很小（一阶小）的数值。

   此外，考虑单参度规群 $g_{ab}(s)$ ，有 $g_{ab}(0)=g_{ab}^0$ ，则有：

   $A_{ab}={\frac{\mathrm{d}{g}_{ab}}{\mathrm{d}s}|}_{s\to 0}=\underset{s\to 0}{lim}\frac{g_{ab}(s)-g_{ab}^0}{s}$ ，因此其小量展开有： $g_{ab}(s)=g_{ab}^0+s{A}_{ab}+\mathcal{O}(s^2)$ ， 因此有： $h_{ab}(s)=s{A}_{ab}+\mathcal{O}(s^2)$ ， 可以看到 $h_{ab}(s)$ 是按小参量 $s$ 变化的，而对 $h_{ab}$ 的求导是对时空坐标 $x^a\ne s$ 进行的，因此 ${\partial }_c{h}_{ab}(s)\sim s{\partial }_c{A}_{ab}$ ，而 $g_{ab}$ 及其对时空坐标的 $n$ 阶导数自然不是小量（因为微分流形已经是定义光滑的），因此对于 ${\partial }_c{h}_{ab}(s)$ 是一阶小的，回到确定的场方程当中， $s$ 取确定的一阶小数值，则 ${\partial }_c{h}_{ab}$ 也是一阶小量了。

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